矩阵复习

Posted on Sat 20 October 2018 in Math

一些有用的结论

  • 实对称阵可以正交对角化
  • 特征值 \(\lambda_i\)的几何重数是\((\lambda I-A)x=0\)的基础解系的个数
  • 特征值 \(\lambda_i\)的代数重数\(n_i\)是\(|\lambda I-A|=\Pi_{i=1}^s(\lambda-\lambda_i)^{n_i}\)
  • 矩阵的行列式是所有特征值的乘积
  • 矩阵的迹是所有特征值的和
  • A可逆 \(\leftrightarrow\) 0不是A的特征值
  • 任何特征值的几何重数不超过其代数重数
  • 相似矩阵具有相同的特征多项式，也具有相同的特征值

特征向量

  • 属于不同特征值的特征向量线性无关
  • n阶矩阵A可以对角化 \(\leftrightarrow\) A有n个线性无关的特征向量 \(\leftrightarrow\) \(F^n\)有一组由A的特征向量组成的基 \(\leftrightarrow\) A的每个特征值的几何重数等于代数重数，特别的，若A有n个不同的特征值，则A可以对角化

空间

  • 设\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)是一组标准正交基，则矩阵\(Q=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)\)称为酉矩阵，实的酉矩阵称为正交矩阵
  • 酉矩阵的逆矩阵是其共轭转置矩阵
  • 正交矩阵的逆矩阵是其转置矩阵
  • 复共轭对称矩阵称为Hermite矩阵
  • Hermite矩阵的特征值都为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交
  • 设A是n阶Hermite矩阵，则下列条件等价
    • A正定
    • A的特征值均为正实数

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